Una de las formas de solucionar este error al intentar abrir phpMyadmin con el usuario root por primera vez, pasa por estos comandos:

sudo mysql -u root
use mysql;
update user set plugin='mysql_native_password' where User='root';
flush privileges;
exit;

En mi caso, me ha funcionado varias veces al querer entrar con el usuario root y la contraseña establecida en la instalación de phpMyadmin.